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【非常粗糙的初稿，贴公式好麻烦，呜呜～～】 

Physicists generally leave the difficult job of proving completeness of a given set of functions to the mathematicians.

                                                                                                                      ---Jackson.

I am simply a student, not the one of famous physicists, hence there is no one of the mathematicians who renders me those rigorous proofs .hehe～～～～～^_^

                                                                                                                   ----henring

唉～关于数学物理的话题怎么聊也不会完的，学习方法很多，意见分歧也很大，我个人还是认为作为物理专业学生，扎扎实实学点数学是很必要的，像Fermi、像Feynman、像Witten……

我想讲讲Uniform Convergence这个概念，这次先谈谈它的一些运用，以后再就数学论数学。

Uniform convergence的定义可借助Cauchy criterion来定义：

这个概念结合函数数列，有三个定理值得注意。分别是：

关于一致收敛跟连续性的，实质就是讲一个连续函数数列，若是一致收敛于某个函数那么它的数列极限运算跟连续函数极限运算可以交换，并且它的极限函数也是连续的：

即

另一个讲一致收敛跟微分的关系：

一个函数数列在某有界区域可微，且收敛于该有界区域的某个点，若是这个函数数列的导数一致收敛于该有界区域，则这个函数数列在这个区域一致收敛，且它的数列极限运算跟求导运算可交换。即：  

最后一个是关于一致收敛跟积分的：

若k是在[a,b]上单调递增的函数，函数数列在[a,b]上一致收敛则

若是    

则这个定理说对于一致收敛的级数，可对其逐项积分。

     好了，书袋掉完，可能这些定理陈述跟一些数学分析的书不太一样，我是按照Rudin在《Principles of Mathematical Analysis》中的方式讲的，这个讲法相对“弱些”，也就是更一般一些。

    我们在推导公式中总会无意有意使用到很精细的数学理论，但物理学专业的学生不太理会这些，遇到极限和积分的运算交换之类的，几乎不考虑适用条件。比如在证明这个著名公式时 ，

我们在球坐标系下，包含原点进行体积分，运算中我们使用辅助函数c 

与三重积分交换极限运算的次序：

这一步很是关键，但是我们很少考虑这样做是否合法，虽然大部分情况下是正确的～～～

实际上，这里用了蛮多的数学。有几种运用上面的定理的方法，能明确这种运算次序交换的合法性。比如把体积分还原成无限求和级数，运用第一条定理就可以证出来。当然也可以使用第二条定理，只需把被积函数看成是某个数列函数的复合函数，结合Heiner定理也可以摆弄出来，呵呵～～总之方法多多。

    最近复习电动力学，又是用到一致收敛概念的是关于Legendre多项式正交积分公式的证明，用一个小小的技巧，可以使证明过程简洁，富有跟大的启发意义，其中就用到无限项级数和的积分等于逐项积分后之和这样的关键条件 ，下次再说吧～～～～这个只是初稿～很粗糙的初稿